压缩机齿基本假设和变形量计算

　　内啮合转子机构被广泛应用于类摆线行星齿轮和齿轮油泵中，但是其在压缩机中应用的相关报道十分少。内啮合转子压缩机基本的结构由内外两个齿组成，如所示，内齿和主轴连接在一起，外齿放置在一个和其同心的缸体中，两齿分别绕各自的中心点转动，不存在不平衡惯性质量，因此运转平稳，特别是从其基本结构可见，该压缩机可以耐

　　受高的压力和压力差，适合用于CO 2制冷系统等场合。

　　该压缩机通过内外齿相互接触产生的啮合点的隔离作用形成多个独立的工作腔，首先气体从吸气孔被引入工作腔中，随着内齿的转动，工作腔容积逐渐变小，内部压力逐渐升高，直至工作腔和排气孔连通，气体被排出压缩机。在整个过程中，由于气体力和内齿的转动，外齿也会沿同方向转动，因此内外齿的啮合点之间会产生接触力，该力的大小将直接影响齿本身材料的选用、机构的啮合效率高低、运转的可靠性和平稳性等。类摆线行星齿轮由于需要传动转矩，因此对接触力的研究较多

　　，其研究结果对内啮合转子压缩机接触力有一定的借鉴作用，但是行星齿轮只传递转矩，不存在气体力，因此两者的接触力大小和特点有很大区别，而齿轮油泵对接触力的研究文献十分罕见，特别是油泵工作时不存在内压缩过程，其工作特性也和压缩机有很大不同，有鉴于此，本文对内啮合转子压缩机齿间接触力进行了研究，在一些合理的假设下，建立了数学模型，并对模型进行了求解，得到各啮合点接触力和支撑力随转角的变化关系。

　　图1内啮合转子压缩机基本结构示意图2基本假设和变形量计算在计算接触力前，必须首先得到内外齿型线方程、内外齿上承受的气体力和力矩等，限于文章篇幅，本文将不对其展开讨论，具体的计算方法。可见，当压缩机工作时，总是存在多个齿同时接触，因此是一个超静定问题，无法用简单的理论力学方法求解，故此做以下假设，以简化计算过程：（1）内外齿之间不存在间隙，外转子和缸体之间也不存在间隙；（2）接触力是由于齿间变形产生的，为了分析方便认为外齿发生变形，而内齿是刚体；（3）变形符合线弹性理论；（4）外齿和内齿都处于平衡状态；（5）忽略啮合点之间摩擦力的影响。

　　如所示，外齿在气体力矩的作用下有沿外齿中心O o转动的趋势。根据假设，内齿是刚体，变形只发生在外齿，故此假设内齿在某一个时刻固定，外转子按气体力矩的方向旋转一个极小的角度Δα，各啮合点位置产生变化，以第j个啮合点M j为例，旋转前的啮合点<7 > M j→= x m（j ，θo）y m（j ，θo）（1）图2第j个啮合点旋转后的变形量旋转后啮合点的新位置为M′j→=Φ（Δα）x m（j ，θo）y m（j ，θo）- e 0 + e 0（2）这里Φ（Δα）是旋转矩阵Φ（Δα） = cos（Δα）- sin（Δα）sin（Δα）cos（Δα）（3）接触力的方向总是在啮合点的法线方向，啮合点的法线即啮合点和瞬心的连线

　　。因为Δα很小，也就是新旧啮合点基本是重合的，因此啮合点法线方向变化很小，故此，虽然啮合点产生轻微的变化，但在计算中仍用未旋转前原始的法线，即N→（ j ，θo） = < x p - x m（ j ，θo） > + i< x p - x m（ j ，θo） >（4）新啮合点和旧啮合点距离为Δl （ j ，θo） = | M′j→- M j→|（5）该距离在啮合点法线方向的投影为

　　Δl N（ j ，θo） =Δl （ j ，θi）cos <βl（ j ，θo） -βN（ j ，θo） >（6）βl（ j ，θo）为新旧啮合点连线和x轴的夹角βl（ j ，θo） = tg - 1 y′m（ j ，θo） - y m（ j ，θo）x′m（ j ，θo） - x m（ j ，θo）（7）βN（ j ，θo）为啮合点法线和x轴的夹角βN（ j ，θo） = tg - 1 y m ，o（ j ，θo） - y p x m ，o（ j ，θo） - x p（8）其中， （ x p， y p）为瞬心坐标。

　　偏转角度Δα不同时，变形量也会有所差异，为了确定多大的Δα合适，将无量纲化，即λ（ j ，θo） =Δl N（ j ，θo）Δl N ，max（ j ，θo）（9）其中，Δl N ，max（ j ，θo）是第j齿在一个循环中的*大值。

　　从图3可见，当Δα足够小时，齿间变形量分布趋于平缓，这时Δα大小不会进一步影响计算结果。

　　图3变形量和偏转角度关系3变形量与接触力关系在一个任意转角，虽然所有齿都参与啮合，但并不是所有的齿都受力，因为部分齿有相互脱离的趋势，故此在计算中，必须要判断出哪些齿受力，哪些齿不受力。本文采用以下的规则来判断：（1）当气体力矩方向为正时，如果Δl N（ j ，θo） < 0，就表明该啮合点不受力，因此让Δl N（ j ，θo） = 0；（2）当气体力矩方向为负时，如果Δl N（ j ，θo） > 0，就表明该啮合点不受力，因此让Δl N（ j ，θo） = 0.

　　气体转矩有正有负， l N（ j ，θo）也有正有负，为了简化以后的计算，将l N（ j ，θo）绝对值化，使其始终为正，即Δl N（ j ，θo） =|Δl N（ j ，θo） |（10）在某个转角，选取所有齿中*大的变形量，即Δl N ，max（θo） = MAX<Δl N（ j ，θo） > j = 1，2，…

　　， Z 2（11）用*大变形量将Δl N（ j ，θo）无量纲化λ（ j ，θo） =Δl N（ j ，θo）Δl N ，max（ j ，θo）（12）由于假设中认为材料变形受力符合线弹性理论，那么接触力和变形量的关系为F m（ j ，θo）∝λ（ j ，θo）（13）在F m（ j ，θo）中选择*大的接触力，即F m ，max（θo） = MAX < F m（ j ，θo） > j = 1，2，…

　　， Z 2（14）显然F m（ j ，θo） = F m ，max（θo）？λ（ j ，θo）（15）4齿间接触力和支撑力内外转子每个齿接触力大小完全相同，只是方向相反，为简化计算，首先计算外转子每个齿上受到的接触力。如图4 ，外转子受到气体力F g ，o（θo）、气体转矩M g ，o（θo）、缸体对外转子的支撑力F d ，o（θo）、和各个齿之间的接触力F m ，o（j ，θo）。根据假设，内外转子的转速是均匀的，也就图4转子上受到力和力矩示意图是处于平衡状态，这样外转子的受力方程为x方向：F d ，o ，x（θo） + F g ，o ，x（θo） + 6 Z 2 j = 1 F m ，o ，x（j ，θo） = 0（16）y方向：F d ，o ，y（θo） + F g ，o ，y（θo） + 6 Z 2 j = 1 F m ，o ，y（j ，θo） = 0（17）缸体支撑力通过外转子中心（x o，y o） ，外转子受到的气体力矩只能由接触力平衡，故此力矩方程为M g ，o（θo） - 6 Z 2 j = 1 F m ，o ，x（j ，θo） < y m ，o（j ，θo） - y 0 >

　　+ 6 Z 2 j = 1 F m ，o ，y（j ，θo） < x m ，o（j ，θo） - x 0 > = 0（18）其中F m ，o ，x（j ，θo） = F m ，o（j ，θo）cos<βN（j ，θo） > F m ，o ，y（j ，θo） = F m ，o（j ，θo） sin<βN（j ，θo） >（19）F g ，o ，x（θo） = F g ，o（θo） cos <βg ，o（θo） > F g ，o ，y（θo） = F g ，o（θo） sin <βg ，o（θo） >（20）各齿之间的接触力为F m ，o（j ，θo） = F m ，o ，max（θo） ？λ（ j ，θo）（21）将式（19）～（21）代入式（16）～（18） ，这样2个方程中包含3个未知数，即F d ，o ，x（θo）、F d ，o ，y（θo）和F m ，o ，max（θo） ，方程可得到**解。

　　所有齿在x方向的接触力合力为F m ，o ，x（θo） = 6 Z 2 j = 1 F m ，o（j ，θo）cos<βN（j ，θo） > （22）所有齿在y方向的接触合力为F m ，o ，y（θo） = 6 Z 2 j = 1 F m ，o（j ，θo） sin<βN（j ，θo） > （23）所有接触力合力为F m ，o（θo）F 2 m ，out ，x（θo） + F 2 m ，out ，y（θo）（24）该接触力合力通过瞬心P，其方向为βm ，o（θo） = tg - 1 F m ，o ，y（θo）F m ，o ，x（θo）（25）内转子受到的齿间支撑力和外转子方向相反，大小相等，即F m ，i（j ，θo） = F m ，o（j ，θo）（26）βm ，i（θo） = -βm ，o（j ，θo）（27）以空调压缩机为例，假设工质为R22 ，内啮合转子压缩机结构参数如下：节圆半径R = 915 cm ，发生圆半径a = 217 cm ，偏心距e = 110 cm ，外齿齿数Z 2 = 7 （齿数比Z 1∶Z 2 = 6∶7） ，工况为ASHRE标准空调工况。图6是计算得到的外转子**个齿的接触力以及所有齿的总接触力的大小和方向随转角变化的关系。从图中可见，对于一个特定的齿，在一周中共有Z 2次和内转子之间存在接触力，而且在240°左右时接触力达到*大。总的接触力是所有齿接触力的总和，因此其值较单个齿的接触力大。图5是外转子受到的气体力大小和方向，从图5和图6的比较可见，按照本文计算方法得到的接触力是很小的，例如齿上的*大接触力只有20N左右，而气体力达到1260N左右，因此该接触力是可以接受的。

　　图5外转子受到的气体力图6接触力大小和方向随容积转角的变化关系5支撑力支撑力包括缸体对外转子的支撑力以及主轴对内转子的支撑力，这样两个支撑力大小相等，方向相反。实际上，在计算齿间接触力时，已经而且必须求得缸体对外转子的支撑力的x和y方向分力F d ， o ， x（θo）和F d ， o ， y（θo） ，这样支撑力为F d ， o（θo） = F d ， i（θo） = F 2 d ， o， x（ j ，θ0） + F 2 d ， o， y（ j ，θo）（28）其方向为βd ， o（θo） = -βd ， i（θo） = tg - 1 F d ， o， y（ j ，θo）F d ， o， x（ j ，θo）（29）同样采用4中的结构参数和运行工况，得到图7所示的接触力，可见在这种情况计算得到的支撑力方向总是在一定范围内摆动的，其数值和气体力

　　大小相当，这是可以很容易理解的，因为气体力的方向在摆动，而其总是基本由支撑力来平衡，故此支撑力的方向也会摆动。

　　支撑力大小和方向随容积转角的变化关系6结论（1）本文通过线弹性理论，对齿间接触力进行了一定合理的假设，通过建立数学模型并选定一组参数，求解了接触力、支撑力的大小和方向；（2）研究的结果表明，齿间接触力和气体力相比数值十分小，几乎可忽略不计，这对内啮合转子压缩机的运行和设计十分有利；（3）同时，计算发现气体力主要由支撑力承受，因此支撑力的大小和方向与气体力十分类似，这对缸体和外转子之间的运动面润滑设计有一定的参考价值；（4）本文的模型建立在齿间以及缸体和外转子无间隙的情况下，实际的机器中，这些间隙总是存在的，因此会对接触力产生影响，需要建立更合理的模型对其进行研究。